Question

已知数列｛Xn｝满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,证明: |xn+1-xn|≤1/6*（2/5）^n-1

Answer 1

当n=1时|X2-X1|=1/6成立 当n≥2时易知0＜Xn-1＜1所以1+Xn-1＜2所以Xn=1/（1+Xn-1）＞1/2 又有|Xn+1-Xn|=|1/（1+Xn）-1/（1+Xn-1）|=|Xn-Xn-1|/[（1+Xn）*（1+Xn-1）]又有注意到（1+Xn）*（1+Xn-1）=[1+1/（1+Xn-1）]*（1+Xn-1）=2+Xn-1≥2+1/2=5/2 所以|Xn+1-Xn|≤2/5|Xn-Xn-1|≤（2/5）²|Xn-1-Xn-2|≤........≤（2/5）ˆn-1*|X2-X1|=1/6（2/5）ˆn-1
获证 mio！