Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）

（1）当m=0时，求f（x）在区间[ π/8 , 3π/4 ]上的取值范围
（2）当tanα=2时，f（α）=3/5，求m的值

Answer 1

(1)当m=0时，f(x)=(1+cotx)sin²x =sin²x+sinxcosx=[1-cos(2x)]/2+sin(2x)/2
=1/2-sin(2x-π/4)/√2
∵x∈[π/8,3π/4] ∴2x-π/4∈[0,5π/4] ∴sin(2x-π/4)∈[0,1]
∴f(x)∈[(1-√2)/2,1/2]
(2)f(α)=(1+cotα）sin²α+msin(α+π/4)×sin(α-π/4）
=(1+cotα）sin²α-m/2cos(2α)
tanα=2 ∴cotα=1/2 cos^2α=1/5 sin^2α=4/5 cos(2α)=-3/5
∴f(α)=(1+cotα）sin²α-m/2cos(2α)=3/2×4/5+3m/10=3/5
∴m=-2