Question

设函数f(x)=x²-1,对任意x∈[2/3,+∞)，f(x/m)-4²f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围

设函数f(x)=x²-1,对任意x∈[2/3,+∞)，f(x/m)-4²f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=x²-1,对任意x∈[2/3,+∞)，f(x/m)-4²f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，
∴x^2/m^2-1-16(x^2-1)<=(x-1)^2-1+4(m^2-1),
化简，x^2*(1/m^2-16)+15<=x^2-2x+4m^2-4,
x^2*(1/m^2-17)+2x+19-4m^2<=0,
以下分两种情况：
i)1/m^2-17<0,
且△/4=1-（1/m^2-17)(19-4m^2)
=1-(19/m^2-327+68m^2)
=-(68m^2-328+19/m^2)<=0.
化为m^2>1/17,
且68m^4-328m^2+19>=0。很繁！
ii)1/m^2-17<0,
68m^4-328m^2+19<0,
-1/(1/m^2-17)<=2/3,
4/9*(1/m^2-17)+4/3+19-4m^2<=0.更繁！

Answer 2

解：依据题意得x2m2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈[
32，+∞)上恒定成立，
即1m2-4m2≤-
3x2-
2x+1在x∈[
32，+∞)上恒成立．
当x=
32时，函数y=-
3x2-
2x+1取得最小值-
53，所以1m2-4m2≤-
53，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，
解得m≤-
32或m≥
32，
故答案为：（-∞，-32]∪[32，+∞）． 有些符号掉了！