Question

在△ABC中,已知AB=AC,D是BC的中点，连结AD,在AD的延长线上取一点E，连结BE.CE

1)求证：△ABE≌△ACE
2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形，并说明理由

Answer 1

1）
因为，AB=AC，D是BC的中点，
所以，AD是BC的垂直平分线。
因为，点E在直线AD上，
所以，EB=EC。
因为，AB=AC，EB=EC，AE为公共边，
所以，△ABE ≌ △ACE 。
2）
要使ABEC为菱形，必须两条对角线AE和BC互相垂直平分，
已知AE是BC的垂直平分线，还需要BC垂直平分AE，
所以，还需要 AD=DE ，
即有：当 AE=2AD 时，四边形ABEC是菱形。

Answer 2

（1）因为AB=AC，
所以△ABC是等腰三角形，，∠BDA=∠CDA
因为D是BC的中点，
所以BD=CD，AD工线，
所以△ABD全等于△ACD
又因为DE=DE，BD=CD，∠BDE=180°-∠BDA ∠CDE=180°-∠CDA
所以∠BDE=∠CDE，
所以△BDE=△CDE
因为AB=AC，BE=CE AD+DE=AD=DE
所以△ABE全等于△ACE
（2）当AE=2AD时，四边形是菱形，
因为菱形是特殊的平行四边形，BD=CD AD‖EC
所以△ABD全等于△EDC
所以AD=ED，
所以当AE=2AD时，四边形是菱形，