Question

已知：a、b>1,0<c<1,且lga+lgb=1,求证：logaC+logbC≤4lgc

Answer 1

因为lga*lgb≤(lga+lgb)^2/4=1/4,所以4lga*lgb≤1,又因为0<c<1，所以lgc<0,所以lgc≤lga*lgb*4lgc,所以lgc(lga+lgb)/(lga*lgb)≤4lgc,即lgc/lga+lgc/lgb≤4lgc,即logaC+logbC≤4lgc,得证
楼主，其实本题主要应用了均值不等式和有关对数换底的内容，证明此类题目你可以采取从结论出发逆向来推，希望对你有帮助

Answer 2

因为a、b>1, 所以logaC+logbC=lgc/lga+lgc/lgb大于等于2倍根号下lgc的平方/lga*lgb 又因为lga*lgb小于等于[(lga+lgb)/2]的平方，即1/4．又 因为lgc<0, 所以原命题成立．