Question

求函数y=(x^4+x^2+5)/(x^2+1)^2的最大值与最小值

Answer 1

y=(x^4+x^2+5)/(x^4+2x^2+1)
=(x^4+2x^2+1-x^2+4)/(x^4+2x^2+1)
=1+(4-x^2)/(x^4+2x^2+1)
=1+(5-(x^2+1))/(x^2+1)^2
=1-1/(x^2+1)+5/(x^2+1)^2

令t=1/(x^2+1) ,0<t<=1
那么 y=5t^2-t+1
该函数是二次函数
对称轴为t=1/10 属于区间(0,1]
t=0时,y=1
t=1/10时, y=0.95 最小值
t=1时,y=5 最大值
所以y的值域是[0.95,5]

Answer 2

先化简：
y=[（X²+1）²+4-X²]/
(X²+1)²
=1+(4-X²)/(X²+1)²
观察这个式子，4-X²的最大值是x=0时取到所以这个式子的最大值是5
最小的话，还没想好。