Question

设数列｛an｝满足a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-1)an=n/3求an

设数列｛an｝满足a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-1)an=n/3求an的通项

Answer 1

a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-2)a(n-1)+3^(n-1)an=n/3 ①
a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3 ②

①-②得
3^(n-1)an=（n/3)-[(n-1)/3]=1/3

因此an=（1/3）/[3^(n-1)]=1/(3^n)

Answer 2

a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-1)an=n/3
把n换成n-1得
a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-2)a(n-1)=（n-1）/3(n≥2）
两式相减得3^(n-1)an=1/3 an=1/3^n
又因a1=1/3也适合上式
∴an=1/3^n（n≥1）

Answer 3

解：a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-1)an=n/3
a1+3a2+...+3^(n-2)an-1=n-1/3

an=(n/3-n-1/3)^n
=(1/3)^n