Question

已知asinθ+bcosθ=c，bsinθ+acosθ=d，求证：（ac－bd)²+(ad－bc)²＝(a²－b²)²

给我一下详细过程吧，谢啦！

Answer 1

asinθ+bcosθ=c --------（1）
bsinθ+acosθ=d --------（2）
(1)^2+(2)^2:
a^2+b^2+4absinθcosθ=c^2+d^2
sin2θ=(c^2+d^2-a^2-b^2)/(2ab)

(1)^2-(2)^2:
(a^2-b^2)((sinθ)^2-(cosθ)^2)=c^2-d^2
cos2θ=-(c^2-d^2)/(a^2-b^2)

(sin2θ)^2+(cos2θ)^2=1
[(c^2+d^2-a^2-b^2)/(2ab)]^2+[(c^2-d^2)/(a^2-b^2)]^2=1
整理后得：
(ac-bd)^2 +(ad-bc)^2=(a^2-b^2)^2