Question

一道高中数学题 请各位看看

9.若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是：（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

注意：(a+b+c)(b+c－a)=3abc是3abc不是3bc
答案选D 为什么 写详细一点 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

余弦定律：a^2+b^2-2ab cos(C)=c^2.
因为sinA=2sinBcosC，
所以a=2b cosC,
带入第一个式子化简得：b^2=c^2,即b=c，
所以∠B=∠C，
所以sinA=2sinBcosC可化为sinA=2sinBcosB=sin2B=sin2C,
所以A=2Kπ+2B或A=2Kπ+π-2B，
又因为∠A+∠B+角C=180，所以A=2B或A=π-2B.
若A=2B，则三角形为等腰直角三角形A=π/2,C=B=π/4;
若A=π-2B，三角形为等腰三角形。
两种情况代入(a+b+c)(b+c－a)=3abc都可以得出解，所以确切的选C等腰三角形