Question

已知f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^(-x) 若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增,在(α,2),(β,＋∞)单调减,

求证：β-α<6
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Answer 1

那个其实的大于0 的。你看看是不是题目错了。

f′(x)=-(x^3+3x^2+ax+b)e-x+(3x^2+6x+a)e^-x=-e^-x[x^3+(a-6)x+b-a].

由条件得：f′(2)=0,即2^3+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a.

从而f′(x)=-e^-x[x^3+(a-6)x+4-2a].

因为f′(α)=f′(β)=0，所以

x^3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)(x^2-(α＋β)x+αβ).

将右边展开，与左边比较系数得：α＋β=-2,αβ=a-2.故

（β-α）^2=（α+β）^2-2αβ

β-α=根号 12-4a

又(β-2)(α-2)＜0,即αβ-2(α+β)+4＜0.由此可得a＜-6.

于是β-α＞6.

Answer 2

∵函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^(-x)
F’(x)=(3x^2+6x+a-x^3-3x^2-ax-b)e^(-x)
=(-x^3+(6-a)x+a-b)e^(-x)
∵函数f(x)在(-∞，α），（2，β）上单调增加，在（α，2），（β，+∞）上单调减少
∴x=2为函数f(x)的一个极小值点
即f’(2)=(-8+12-2a+a-b)e^(-2)=0==>a+b=4
∴b=4-a
代入-x^3+(6-a)x+a-b＝-x^3+(6-a)x+2a-4=(x-2)(-x^2-2x+2-a)
∴α,β满足-x^2-2x+2-a＝0==>x^2+2x+a-2＝0
由韦达定理知β+α=-2, βα=a-2
(β-α)^2=(β+α)^2- 4βα=12-4a
β-α=2√（3-a）
当a<-6,且a+b=4时满足β-α>6
所以，本题第二问有问题，即不是在任何时候都满足β-α>6