Question

几何+函数

已知在ΔABC中，AB=AC，∠B=30度，BC=6，点D在BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是正三角形，边DE和EF与边AB和AC分别交于点M和N。设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域。

Answer 1

1.在矩形中，有三角形PMN与AMN面积相等，问题等价于使AMN面积为ABC面积一半的问题。因为MN\\BC，所以有平行公理，AM:AB=AN:AC。因为角A为直角，所以面积之比S(AMN):S(ABC)=
1/2*AM*AN:(1/2*AB*AC)=(AM:AB)^2=(X/2)^2=1/2 解之得，X=根号2
2.圆当中，内接三角形AMN中角A为直角，所以MN 为直径,同理AP也为直径。在等腰直角三角形AMN中MN=（根号2）*AM
=（根号2）*X。在等腰直角三角形BMP中，MP=MB=(2-X),由勾股定理得
MN^2=AP^2=AM^2+MP^2=X^2+(2-X)^2=2X^2
得X=1.

Answer 2

楼主是不是打错了，是边DF吧。
解：
由题意知，△ABC的高h=√3，
所以，
△ABC的面积s=3√3,
△BDM的面积s=√3x^2/4,
△CEN的面积s=√3(3-x)^2/4,
所以，
y=3√3-√3x^2/4-√3(3-x)^2/4
化简得y=-√3(2x^2-6x-3)/4
定义域是1<x<2 (这个您画图一算就出来了，不会再联系我)

Answer 3

如图所示，过点M，A，N分别作BC的垂线，垂足为G，O，H.

由题意，AO=√3，BO=OC=3，DE=3，BD=x.

由已知，∠B=30&ordm;，∠MDG=60&ordm;，得∠BMD=30&ordm;，

∴DG=(1/2)DM=(1/2)BD=x/2，BG=BD+DG=x+(x/2)=3x/2.

由三角形相似的条件可知，

△MGD∽△BOA，相似比为（x/2）∶√3；

△BGM∽△BOA，相似比为（3x/2）∶3，

∵△BOA的面积=（3√3）/2，

∴△MGD的面积=(x&sup2;/12) ×△BOA的面积=(√3/8)x&sup2;，

△BGM的面积=(x&sup2;/4) ×△BOA的面积=(3√3/8)x&sup2;，

∴梯形MGOA的面积=△BOA的面积－△BGM的面积

=（3√3）/2－(3√3/8)x&sup2;，

四边形AMDO的面积=△MGD的面积+梯形MGOA的面积

                  =(√3/8)x&sup2;+（3√3）/2－(3√3/8)x&sup2;

                  =（3√3）/2－(√3/4)x&sup2;.

当BD=x时，CE=BC－BD－DE=6－x－3=3－x，

∴同理，四边形ANEO的面积=（3√3）/2－(√3/4)(3－x)&sup2;.

因此，y=多边形AMDEN的面积

       =四边形AMDO的面积+四边形ANEO的面积

       =－(√3) (2x&sup2;－3x－3) /4.

∵△DEF的边DF和EF与边AB和AC相交，

∴分别由M与A重合， N与A重合时，可得x=2和x=1，

∴1≤x≤2.

综上，y关于x的函数解析式为y=－(√3) (2x&sup2;－3x－3) /4，

定义域为[1，2].