Question

函数单调性

求f(x)=e^x-ln(e+x)在x〉=0中的单调性，我想问第三种思路怎么写过程
1，利用定义方法设x2〉x1，f(x2)-f(x1)=e^x2-e^x1+1/(e+x1)-1/(e+x2)>0所以是增函数
2，利用导数方法f(x)'=e^x-1/(e+x)=[e^(x+1)-1+e^x*x]/(e+x),因为x〉=0所以e^(x+1)-1〉0所以f(x)'>0
3,设g(x)=e^x,h(x)=ln(e+x),函数g(x)与h(x)象交于x=0，在x>0时如图g(X)的增长速度快于h(x)的增长速度，所以x>0时g(x)>h(x)，又因为f(x)=g(x)-h(x)，所以f(x)越来越大

Answer 1

所谓增长速度，细究起来就是增量Δy与增量Δx的比值(平均变化率),其极限就是指变化率(某一点处的增长速度),其实就是导数了。所以你这个第三种思路和第二种没有区别。

Answer 2

这个问题的本质是，证明：x>0时g(x)>h(x)恒成立。

只有x>0时g(x)>h(x)恒成立，才能说明在x>0时g(X)的增长速度快于h(x)的增长速度。

回到x>0时g(x)>h(x)这个问题的本身，还是需要用到方法1的定义证明法，或者方法2的求导法。

方法3是一种思维方式，可以帮我们快速判断问题，但是要解决问题，还是需要科学的方法才有说服力。目前公认的科学方法就是方法1和方法2。其他的方法都是他们的变相应用。

Answer 3

If x > 0, g'(x) = e^x > 1, h'(x) = 1/(e+x) < 1
So, f'(x) = g'(x)-h'(x) > 0
Therefore, f(x) is increasing for all x >= 0.