Question

高二难题

直线y=x+1与x^2/a^2+y^2/b^2=1相较于AB两点，与x轴相交于F 求证a^2+b^2>1 如果F是椭圆焦点，AF=2BF，求椭圆方程

Answer 1

1）
）
直线和椭圆相交于A B亮点
x^2/a^2+(x+1)^2/b^2=1
用^表示乘方。
b^2 x^2+a^2(x^2+2x+1)-a^2b^2=0
(a^2+b^2)x^2+2a^2x +a^2(1-b^2)=0有两个不同的解
那么判别式
△=（2a^2）^2-4a^2(1-b^2)(a^2+b^2)
=4a^4-(4a^4+4a^2b^2-4a^4b^2-4a^2b^4)
=4a^4b^2+4a^2b^4-4a^2b^2
=4a^b^2(a^2+b^2-1)>0
所以a^2+b^2>1
2)
直线经过椭圆的一个焦点F 而y=x+1和x轴交点是（-1,0）,交点是左焦点，而且c=1
直线L的参数方程:
x=-1+√2t/2
y=√2t/2
（倾斜角度是45°）
与椭圆方程联立 得
(a^2+b^2)t^2/2-√2b^2t+b^2-a^2b^2=0
t1+t2=2√2b^2/(a^2+b^2)
t1t2=2(b^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)

向量AF=向量2FB 有t1=-2t2
得t1+t2=-t2 t1t2=-2t2^2
t1t2=-2(t1+t2)^2

整理得a^2-a^4+9b^2-2a^2b^2=0
又由a^2-b^2=1
代人得b^2=2 则a^2=3
∴椭圆方程为x^2/3+y^2/2=1

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第二问也可以通过第二定义来求

如果设A（x1，y1）B(x2,y2)
(x1+x2)（x1-x2）/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)b^2/[a^2(y1+y2)]

根据第二定义有
AF/(x1+a^2/c)= BF/(x2+a^2/c)=1/a
AF=2BF
所以x1+a^2=2x2+2a^2
配合距离公式的平方可以得到方程组，可以解出A B，比较麻烦
化简比较复杂，这里只提供思路，建议用直线参数方程