Question

已知sinα+sinβ+sinγ=1 求证tan²α+tan²β+tan²γ≥3/8

要详解，尽快

Answer 1

1L方法正确，但书写有误。
解:因为sinα+sinβ+sinγ=1,所以由平均不等式有:sinα^2+sinβ^2+sinγ^2≥1/3所以:cosα^2+cosβ^2+cosγ^2≤8/3,(sinα+sinβ+sinγ)^2=1,
由柯西不等式有:(tan²α+tan²β+tan²γ)(cosα^2+cosβ^2+cosγ^2)≥(sinα+sinβ+sinγ)^2=1,
从而有:tan²α+tan²β+tan²γ≥3/8.

Answer 2

已知sinα+sinβ+sinγ=1 求证tan²α+tan²β+tan²γ≥3/8.
解:小菜一碟.因为sinα+sinβ+sinγ=1,所以由平均不等式有:sinα^2+sinβ^2+sinγ^2>=1/3(sinα+sinβ+sinγ)^2=1/3,所以:cosα^2+cosβ^2+cosγ^2<=8/3,又因为由柯西不等式有:(tan²α+tan²β+tan²γ)(cosα^2+cosβ^2+cosγ^2)>=(sinα+sinβ+sinγ)^2=1,从而有:tan²α+tan²β+tan²γ≥3/8.

Answer 3

用均值不等式令sina=x cos=y sinr=z
则x+y+z=1 则x^2+y^2≥2xy z^2+y^2≥2zy x^2+z^2≥2xz