已知四棱锥P-ABCD,PA垂直平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AC,E,F分别是BC,PC的中点， 10
（2）在平面PAB内求一点G，使GF垂直于PCD平面，并证明。
(3)求AC与平面AEF所成角的正弦值 展开
1、以AB、AD、AP为轴建立空间直角坐标系，设底正方形边长为1，
各点坐标如下：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，√2），E（1，1/2，0），F（1/2，1/2，√2/2），
向量EF=（-1/2，0，√2/2），
向量AD=（0，1，0），
向量EF•AD=0+0+0=0，
∴EF⊥AD。
2、设平面PAB一点G，使GF⊥平面PCD，
在平面PAB任意一点y坐标值为0，
设G（x,0,z）,
向量GF=（1/2-x,1/2, √2/2-z）,
则向量GF⊥PC，GF⊥DC，
向量PC=（1，1，-√2），向量DC=（1，0，0），
向量GF•PC=1/2-x+1/2+(√2/2)*( -√2)+ √2z=1-x-1+√2z=√2z-x=0,
x=√2z,
向量GF•DC=1/2-x=0,
x=1/2, z=√2/4,
在平面PAD上，有一点G（1/2，0，√2/4），则GF⊥平面PDC。
3、向量AF=（1/2，1/2，√2/2），向量AE=（1，1/2，0），
向量AC= （1，1，0）
设平面AEF法向量为n=(x,y,1),则n⊥AF，n⊥AE，
向量n•AF=x/2+y/2+√2/2=0,
x+y+√2=0,
向量n•AE=x+y/2=0,
y=-2x,
x=√2, y=-2√2,
法向量n=（√2, -2√2,1）,
|n|=√11,|AC|=√2,
n•AC=√2 -2√2+0=-√2，
设法向量n与平面AEF成角为θ1，
n•AC=|n|*|AC|*cosθ1,
cosθ1=-√2/(√11*√2)=- √11/11,
取锐角，cosθ=√11/11，
斜线AC与平面AEF成角和其法向量成角互余，
设AC与平面AEF成角为α，α=π/2-θ，
sinα=cosθ,
sinα=√11/11, AC与平面AEF所成角的正弦值为√11/11.
