Question

高二解析几何

已知椭圆X^2/3+Y^2/2=1的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆与B.D两点，过F2的直线交椭圆与A.C两点，且AC垂直BD，垂足为p。
设p点坐标为（X0,Y0),X0^2/3+Y0^2、2小于1
求四边形ABCD面积最小值

Answer 1

BD：y=k(x+1)
AC：y=-(x-1)/k
由交轨法得x²+y²=1
根据图像可知P在椭圆内

y=k(x+1)
2x²+3y²=6
得(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0
x1+x2=-6k²/(3k²+2)
x1x2=(3k²-6)/(3k²+2)
|BD|=√(1+k²)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=4√3(1+k²)/(3k²+2)
用-1/k代k即得
|AC|=4√3(1+k²)/(2k²+3)
S=|AC||BD|/2=24(1+k²)²/(3k²+2)(2k²+3)
≥24(1+k²)²/[(3k²+2+2k²+3)/2]²=96/25
(基本不等式[(a+b)/2]²≥ab)