高数求详细解题步骤

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wjl371116
2014-03-15 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
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二。计算
1。解:复合函数y=3ln(1-x²);定义域:由1-x²>0,得定义域为-1<x<1;
2。解:因为x→0⁻lim[x²sin(1/x)]=0【x→0时sin(1/x)是有界变量,而x²是无穷小量,故极限为0】
x→0⁺lim(xlnx)=x→0⁺lim[(lnx)/(1/x)]=x→0⁺lim[(1/x)/(-1/x²)=x→0⁺lim(-x)=0
即x→0⁻limf(x)= x→0⁺limf(x)=f(0)=0,故f(x)在x=0处连续。
3.求由方程y=1+x²-xe^y所确定的隐函数y的导数dy/dx
解:设F(x,y)=y-1-x²+xe^y=0,那么:
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(-2x+e^y)/(1+xe^y)=(2x-e^y)/(1+xe^y).
三。计算
1。解:x→0⁻lim[√(1+x²)-1]/x²=x→0⁻lim[x/√(1+x²)]/2x=x→0⁻lim{1/[2√(1+x²)]}=1/2=f(0)
x→3⁺lim[1/(x-2)]=1≠f(3)=2;故该函数左连续,右不连续。【不能说x→3时f(x)的极限不存在,
只能说“右不连续】
2。x≠0时f(x)=x⁴sin(1/x);x=0时f(x)=0;取△x=x-0=x,
则f '(0)=x→0lim[x⁴sin(1/x)-0]/x=x→0lim[x³sin(1/x)]=0;
f ''(0)=x→0lim[x³sin(1/x)]/x=x→0lim[x²sin(1/x)]=0.
3。【0,1】∫f(x)dx=【0,√3/2】∫dx/√(1-x²)+【√3/2,1】∫2xdx
=arcsinx∣【0,√3/2】+x²∣【√3/2,1】=π/3+1-3/4=π/3+(1/4)
4。解:令2x=(x-4)²,即有x²-10x+16=(x-2)(x-8)=0,故得x₁=2,x₂=8;相应地y₁=-2,y₂=4;
故由y²=2x与y=x-4所围图形的面积:
S=【0,8】∫√(2x)dx-(1/2)×4×4+【0,2】∫∣-√(2x)∣dx+(1/2)×2×2
=[(2√2)/3]x^(3/2)∣【0,8】-8+[(2√2)/3]x^(3/2)∣【0,2】+2=(64/3)-6+(8/3)=26-8=18.
四。计算
1。证明方程x⁵+x-1=0在[0,1]内只有一个实根
证明:设f(x)=x⁵+x-1;由于f(0)=-1,f(1)=1,故f(x)的图像必在区间(0,1)内至少穿过x轴一次,
因此方程x⁵+x-1=0在区间(0,1)内至少有一个实根。
又因为f '(x)=5x⁴+1≧1>0在f(x)的全部定义域R内恒成立,故f(x)在其全部定义域R内无极值点
当然在[0,1]内也就没有极值点,故方程x⁵+x-1=0在区间(0,1)内的实根是唯一的。
这就证明了方程x⁵+x-1=0在[0,1]内有且只有一个实数根
【此问题不能用罗尔定理证明】
2。比较【1,2】∫lnxdx和【1,2】∫ln²xdx的大小。
证明:当1≦x≦2时,0≦lnx<1,故0≦ln²x≦lnx,∴【1,2】∫ln²xdx<【1,2】∫lnxdx.
3。计算由曲线y²=x和曲线y=x²所围图形的面积
解:所围面积S=【0,1】∫[(√x)-x²]dx=[(2/3)x^(3/2)-x³/3]【0,1】=(2/3)-(1/3)=1/3.
4。确定a,b的值,使点(1,3)是曲线y=ax³+bx²+x的拐点,并求出曲线在点(1,3)的切线方程
解:依题意,点(1,3)在曲线上,因此有等式:a+b+1=3...........(1)
y’=3ax²+2bx+1;y''=6ax+2b;已知(1,3)是其拐点,故有等式y''(1)=6a+2b=0.........(2)
(1)(2)联立求解得a=-1,b=3;故y=-x³+3x²+x;y'=-3x²+6x+1;y'(1)=-3+6+1=4;故(1,3)处
的切线方程为y=4(x-1)+3=4x-1,即4x-y-1=0为所求。
_鬼厉张小凡
2014-03-15 · TA获得超过167个赞
知道小有建树答主
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题还真多......我放弃了.....
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圆圆滑滑润润
2014-03-15
知道答主
回答量:20
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看课本去!
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