Question

高等代数，请赐教

Answer 1

见图片上的9.4.8.希望能够帮助你！

追问

可不可以麻烦把这个题的题目给我呢？

追答

只需要将你的题目中的变换A换成\sigma就可以了

Answer 2

这题基本上是说车轱辘话呢，一句话翻来覆去的说。

(1)
A α = α - 2 (η, α) η，其中 η 是单位向量。
η 是镜面反射中，镜面的法向量，与其垂直的 n-1 维子空间就是镜面。
因为对任意的 α，(η, α) η 是 α 在 η 方向上的投影。
所以，α - 2 (η, α) η 恰好为 α 的镜像。

(2)
如果 α = k η，其中 k 为任意实数。
则：Aα = α - 2 (η, α) η = k η - 2 (η, k η) η = k η - 2 k η = - k η
所以 η 方向是对应特征值 -1 的特征向量。

如果 (α, η) = 0，也就是 α 与 η 垂直。
则：Aα = α - 2 (η, α) η = α
所以与 η 垂直的方向是对应特征值 1 的特征子空间，n-1 维的特征子空间。

所以，A 的行列式为所有特征值的乘积，等于 -1
所以 A 是第二类正交变换。

(3)
因为是正交变换，所以 A 的特征值只能是 1 或 -1。
现已知 n-1 个特征值都是 1，那剩下的那个特征值就是 -1 了。
特征值 -1 至少有一个特征向量，我们把它单位化，叫做 η。
与 η 垂直的子空间叫做 U

因为 U 是 n-1 维的，再与 η 组合，构成了整个空间。
所以任意向量 α 都能分解成：α = k η + u 的形式，其中 k 为实数，u ∈ U

因为不同特征值对应的特征子空间相互垂直，所以 (η, u) = 0
所以 (η, α) = (η, k η + u) = k (η, η) + (η, u) = k

所以 Bα = B (k η + u) = k (Bη) + Bu = - k η + u = α - 2 k η = α - 2 (η, α) η
是个镜面反射变换。