Question

已知函数y=f(x),x∈R,对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)求证f(0)=0

（1)已知函数y=f(x),x∈R,对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)求证：f(0)=0，且f（x）是奇函数
(2)请写出几个满足上述条件的函数

Answer 1

函数f(x)对任意实数x、y∈R，都有：
f(x＋y)=f(x)＋f(y)
则以：x=y=0代入，得：
f(0)=f(0)＋f(0)
即：f(0)=0
以－x代替其中的y，得：
f(x－x)=f(x)＋f(－x)
f(x)＋f(－x)=f(0)=0
即：f(－x)=－f(x)
此函数为奇函数。

如：f(x)=2x

Answer 2

1)令x=y=0,代入等式得：f(0)=f(0)+f(0),即得：f(0)=0
令y=-x,代入等式得;f(0)=f(x)+f(-x), 故f(-x)=-f(x),因此f(x)为奇函数。
2)f(x)=3x, f(x)=5x, f(x)=10x, 都有此性质。