Question

已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,则4a-2b的取值范围是？

我想问如果1≤a-b≤2……①，2≤a+b≤4……②。①+②得3≤2a≤6，3/2≤a≤3……③
②+①*（-1）得0≤2b≤3，0≤b≤3/2……④
③*4+④*（-2）得3≤4a-2b≤12
我知道这道题是用换元法解答，答案为5≤4a-2b≤10，但上述方法错在哪里，请大神具体说一下，以解开小弟心头之结，小弟在线等，万分感激！！！
书上说错误原因是同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向，这一性质是单向的，用它来做变形是非同解变形，因此结论错误，是什么意思？

Answer 1

这是一个很经典的问题
设t=m(a-b)+n(a+b)=4a-2b
则m+n=4
n-m=-2
所以m=3,n=1

t=3*(a-b)+1*(a+b)
5=<t<=10
你那样做，无形中对变量的范围进行了放大
记得当时我一次性从根本上解决了这个问题
你在坐标轴里面用线性规划的方法做，就很明了了

追问

书上说错误原因是同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向，这一性质是单向的，用它来做变形是非同解变形，因此结论错误，是什么意思？

追答

是的，是同向

1≤a-b≤2……①，2≤a+b≤4……②。①+②得3≤2a≤6，3/2≤a≤3……③

这样是不对的，，，

你画图试试，别偷懒

正确的解法，是黑色阴影

错误解法是红色阴影，

看出差别了吧

采纳我的答案吧

追问

我有点笨。

这能看出什么？

追答

这，明显红色区域比黑色区域大啊，，，所以错误求解得到a，b的范围是被放大的.
就是黑的能推出红的，红的不能反过来推出黑的，这就是单向的
同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向，这一性质是单向的