Question

已知X={1,2,3},f:X→X,且满足f[f(x)]=f(x),则满足要求的映射有多少个?

如题
网上有类似的问题，但是看不懂，所以不要复制粘贴的，谢谢！

Answer 1

f[f(x)]=f(x)
即：f(x)=x
函数的个数由不同的映射关系确定。
映射：f：A→B，A中的元素在B中必须有像，但B中并非所有的元素有原像。所以映射由“一对一”，“多对一”两种类型。
（1）f：{1，2，3}→{1，2，3}，可以有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3【当然也可以是f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,这个无所谓的】,这是1个函数；
（2）f：{1,2,3}→{1}，此时满足f(1)=1;同理有，
f：{1,2,3}→{2}；{3}；共有3类不同的映射，因此有3个函数
（3）f：{1,2,3}→{1,2}，此时满足f(1)=1,f(2)=2;首先任选两个元素作为值域，比如1,2；则有3种情况；则3可以对应1或2，有2种情况；则有C32*C21=6个函数
（4）f：{1,2,3}→{1,2,3,4}，{1,2,3,4}作为值域的话，原像集{1,2,3}必然有有一个元素要对应2个像，这不符合映射的定义，故这个映射关系不成立，
综上所述，一共有10个函数。【注意，有几个函数是通过不同的映射关系确定的】

【下面从不动点角度解释】
满足f(x)=x的x称为f(x)的不动点。所有满足f(x)=x的x的取值的集合称为不动点集。
从f(x)=x看，所有不动点集显然是函数f(x)值域的子集；
从f[f(x)]=f(x),看f(x)的值域是不动点集的子集；
所以不动点集=值域。
然后根据值域数目枚举：
（1）值域只有一个元素的函数3个
（2）值域有两个元素，根据两个元素的不同有3种情况。而给定值域后，由于值域中的点都是不动点，我们只需要确定余下元素的取值，只有两种情况，所以这部分总共3*2=6个函数
（3）对于值域3个元素的函数，由于这三个数都是不动点，只有1个函数
总共3+6+1=10个函数