Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 cosB cosC =- b 2a+c ，（1）求角B的

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 cosB cosC =- b 2a+c ，（1）求角B的大小；（2）若 b= 13 ，a+c=4 ，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC =2R 得： a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 将上式代入已知 cosB cosC =- b 2a+c 得 cosB cosC =- sinB 2sinA+sinC ， 即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0， 即2sinAcosB+sin（B+C）=0， ∵A+B+C=π， ∴sin（B+C）=sinA， ∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0， ∵sinA≠0，∴ cosB=- 1 2 ， ∵B为三角形的内角，∴ B= 2 3 π ； （II）将 b= 13 ，a+c=4，B= 2 3 π 代入余弦定理b 2 =a 2 +c 2 -2accosB得： b 2 =（a+c） 2 -2ac-2accosB，即 13=16-2ac(1- 1 2 ) ， ∴ac=3， ∴ S △ABC = 1 2 acsinB= 3 4 3 ．