Question

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。 （1）求点C到平面A 1 A

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。 （1）求点C到平面A 1 ABB 1 的距离；（2）若AB 1 ⊥A 1 C，求二面角A 1 -CD-C 1 的平面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB 又CD⊥AA 1 。 故CD⊥平面A 1 ABB 1 ． 所以点C到平面A 1 ABB 1 的距离为CD= 。
（2）如图，取D 1 为A 1 B 1 的中点，连接DD 1 ，则DD 1 ∥AA 1 ∥CC 1 又由（1）知CD⊥平面A 1 ABB 1 故CD⊥A 1 D，CD⊥D 1 D， 所以∠A 1 DD 1 为所求的二面角A 1 -CD-C 1 的平面角 因A 1 D为A 1 C在面A 1 ABB 1 中的射影， 又已知AB 1 ⊥A 1 C由三垂线定理的逆定理得AB 1 ⊥A 1 D 从而∠A 1 AB 1 、∠A 1 DA都与∠B 1 AB互余 因此∠A 1 AB 1 =∠A 1 DA， 所以Rt△A 1 AD∽Rt△B 1 A 1 A 因此AA 1 ：AD=A 1 B 1 ：AA 1 ，即AA 1 2 =AD?A 1 B 1 =8，得AA 1 =2 ， 从而A 1 D= 所以Rt△A 1 D 1 D中，cos∠A 1 DD 1 =