Question

（2014?河北区一模）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且

（2014?河北区一模）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，cosB=35，求CE的长．





Answer 1

（1）答：BC与⊙O相切．
证明：连接AE，
∵AC是⊙O的直径
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半为2，
∴AC=4，
∵cosB=

3

5

=

BC

AC

，
∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴

EA

EC

=

AF

AC

=

1

2

，
∴EC=2EA，
设EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=

4 5

5

（负数舍去），
即CE=

8 5

5

．