Question

（2014?怀化模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与

（2014?怀化模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=43，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．（1）求AC的长和点D的坐标；（2）求证：FEEC＝AEDC；（3）当△EFC为等腰三角形时，求△AEC的面积．

Answer 1

解答：解：（1）由题意tan∠ACB=

4

3

，
∴cos∠ACB=

3

5

，
∵四边形ABCO为矩形，AB=16，
∴BC=12，AB=20，
∴A点坐标为（-12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（12，0）．
（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．
∴

FE

EC

＝

AE

DC

；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
∴△AEC的面积为

1

2

AE?OC=

1

2

×20×16＝160．
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE=2ME=2EF?cos∠CEF=2EF?cos∠ACB=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

＝

AE

ED

，即：

EF

6 5 EF

＝

AE

20

，
解得：AE=

50

3

，
∴OE=AE-OA=

14

3

，
∴E(

14

3

，0)．
∴△AEC的面积为

1

2

AE?OC=

1

2

×16×

50

3

=

400

3

．
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时E点与D点重合，这与已知条件矛盾．
∴△AEC的面积为160或者

400

3

．