Question

如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作 AC ，在扇形BAC内作⊙O与AB、B

如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作 AC ，在扇形BAC内作⊙O与AB、BC、 AC 都相切，则⊙O的周长等于（　　） A． 4 9 π B． 2 3 π C． 4 3 π D．π

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Answer 1

连接OB并延长与 AC 交于点E，设AB与圆的切点为D，连接OD， ∵△ABC为等边三角形，以B为圆心，AB为半径作 AC ， ∴∠ABC=60°，BA=BC=BE=2， 由对称性得到：∠ABE=30°， ∵AB为圆O的切线， ∴OD⊥AB， 在Rt△BOD中，∠ABE=30°，设OD=OE=x， 可得OB=2x， ∴OB+OE=BE，即2x+x=2， 解得：x= 2 3 ，即圆O的半径为 2 3 ， 则圆O的周长为 4 3 π． 故选C．