Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，已知：AC=BD，∠OBC=∠OCB．（1）求证：AB=DC；（2）判别结论

如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，已知：AC=BD，∠OBC=∠OCB．（1）求证：AB=DC；（2）判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举出一个反例．

Answer 1

（1）证明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
在△AOB和△DOC中
∵

OA＝OD ∠AOB＝∠DOC OB＝OC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=DC．

（2）四边形ABCD一定是等腰梯形，
证明：∵OA=OD，OB=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∠BOC=∠AOD，
∴∠ADO=∠OBC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵由（1）知：AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．