Question

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴

PD

CA

＝

PB

CB

，CE=PD．
∴PD＝

CA×PB

CB

＝

30×4x

20

＝6x．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴

CF

CA

＝

CE

CB

．
∴CF＝

CA×CE

CB

＝

30×6x

20

＝9x．
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x＝

20

9

．

（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x＝

20

13

．
当0＜x＜

20

13

时，如图①，

y＝ PD(PF+DE) 2 ＝ 6x(20?13x+20?4x) 2

=-51x²+120x．
当

20

13

≤x≤

20

9

时，如图②，
y＝

1

2

DE×DG
=

1

2

(20?4x)?

2

3

(20?4x)=

1

3

（20-4x）²．
（或y＝

16

3

x2?

160

3

x+

400

3

）．