如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，AC，BD相交于点O，PD＝2AB，点E在棱PB上．（1）求证：
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，AC，BD相交于点O，PD＝2AB，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当E为PB的中点...
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，AC，BD相交于点O，PD＝2AB，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小；（3）当PO⊥AE时，求PEEB的值．
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（1）∵ABCD为正方形，AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD┅（2分）
而BD与PD是平面PBD内两相交直线，
∴AC⊥平面PBD┅（3分）
而AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB┅（5分）
（2）∵AC⊥平面PBD，
∴AE在平面PDB内的射影为OE，
∴∠AEO即为AE与平面PDB所成的角，且∠AOE为直角┅（7分）
令AB=1，则PD＝
，
∵E为PB的中点，∴OE＝
PD＝
，OA＝
，
∴△AOE为等腰直角三角形，┅（9分）
∴∠AEO=
，即AE与平面PDB所成的角为
┅（10分）
（3）∵AC⊥平面PBD，PO?平面PBD，
∴AC⊥PO，
当PO⊥AE时，PO⊥平面AEC，∴PO⊥OE┅（12分）
在△PDB中，tan∠OPD＝
＝
∴tan∠OPE＝tan(
?∠OPD)＝
∴cos∠OPE＝
，
而cos∠OPE＝
＝
，OP＝
又∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD┅（2分）
而BD与PD是平面PBD内两相交直线，
∴AC⊥平面PBD┅（3分）
而AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB┅（5分）
（2）∵AC⊥平面PBD，
∴AE在平面PDB内的射影为OE，
∴∠AEO即为AE与平面PDB所成的角，且∠AOE为直角┅（7分）
令AB=1，则PD＝
| 2 |
∵E为PB的中点，∴OE＝
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴△AOE为等腰直角三角形，┅（9分）
∴∠AEO=
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（3）∵AC⊥平面PBD，PO?平面PBD，
∴AC⊥PO，
当PO⊥AE时，PO⊥平面AEC，∴PO⊥OE┅（12分）在△PDB中，tan∠OPD＝
| OD |
| PD |
| 1 |
| 2 |
∴tan∠OPE＝tan(
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠OPE＝
3
| ||
| 10 |
而cos∠OPE＝
| OP |
| PE |
3
| ||
| 10 |
