Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2-4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P．（1）直接点P的坐标；（2

在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2-4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P．（1）直接点P的坐标；（2）直线y=2x+b与抛物线c1在相交于A、B两点，如图1，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两点，当PD=PC时，求a的值；（3）若a=-1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q为线段MN的中点．设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2，求抛物线c2的解析式．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-4a+4=a（x²-4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P，
∴x²-4=0，
解得 x=2或x=-2（舍去），
则y=4，
∴点P的坐标是（2，4）；

（2）设点A、B的坐标分别为A（x₁，ax₁²-4a+4）、B（x₂，ax₂²-4a+4）．
又∵点A、B在直线y=2x+b上，
∴a（x₁+x₂）=2．
如图戚哗念，过点B作BG∥y轴高困，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵AH∥x轴，
∴∠PAH=∠PDC．
同理，∠BPG=∠PCD，
∴∠AHP=∠PGB，
∴Rt△PGB∽Rt△AHP，
∴

BG

PG

=

PH

AH

，即

2?x2

ax22?4a

=

2?x1

?(ax12?4a)

，
∴x₁+x₂=-4，
∴a=-

1

2

；

（3）设点Q的坐标为（x_Q，y_Q），点N的坐标为（x_N，y_N）．
∵M（2，0）．
由点Q是线段MN的中点，可以求得，x_N=2x_Q-2，y_N=2y_Q．
∵a=-1，
∴抛物线c₁的解析式芦袭为y=-x²+8．
∵点N在抛物线c₁上，
∴y_N=-x_N²+8．
∴2y_Q=-（2x_Q-2）²+8，即y_Q=-2x_Q²+4x_Q+2，
∴抛物线c₂的解析式为：y=-2x²+4x+2．