Question

已知函数f（x）= ．（1）求函数的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（x...

已知函数f（x）= ．（1）求函数的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer 1

解：（1）对于函数f（x）= ， 有 ＞0， 解可得，x＞3或x＜﹣3， 则函数f（x）= 的定义域为{x|x＞3或x＜﹣3}； （2）由（1）可得，f（x）= 的定义域为{x|x＞3或x＜﹣3}，关于原点对称， f（﹣x）=log m =log m =﹣ ， 即f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为奇函数； （3）根据题意，f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β] （3，+∞）． 设x 1 ，x 2 ∈[α，β]，且x 1 ＜x 2 ， 则x 1 ，x 2 ＞3，f（x 1 ）﹣f（x 2 ）= = ∵（x 1 ﹣3）（x 2 +3）﹣（x 1 +3）（x 2 ﹣3）=6（x 1 ﹣x 2 ）＜0， ∴（x 1 ﹣3）（x 2 +3）＜（x 1 +3）（x 2 ﹣3）即 ， ∴当0＜m＜1时，log m ，即f（x 1 ）＞f（x 2 ）； 当m＞1时，log m ，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．