数学导函数大题,求大神帮忙,要步骤! 5
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解:
(1)由题意,得 f'(x) = a/x + x + b,f''(x) = -a/x² + 1。
由于x = 1是极值点,所以f'(1) = a + 1 + b =0,b = -a-1。
由于x = 1是极大值点,所以f''(1) = -a + 1 <0,a > 1。
令 f'(x) = a/x + x + b = a/x + x - a - 1 = (x-1)(x-a)/x = 0,可求出f(x)的极值点为 x = 1 或 x = a。
要使函数f(x)有意义,则有 x >0。前面已推得a>1,故
0<x<1时, f'(x) = (x-1)(x-a)/x > 0,f(x)递增;
1<x<a时, f'(x) = (x-1)(x-a)/x < 0,f(x)递减;
x>a时, f'(x) = (x-1)(x-a)/x > 0,f(x)递增。
即f(x)的增区间为(0,1)和(a,+∞),f(x)的减区间为(1,a)。
(2)第1问已推得f(x)的极值点为 x = 1 或 x = a。
根据函数图像可知,要使f(x)=0恰有两根,则有f(1)=0或f(a)=0。
将b = -a-1代入f(x) = a lnx + (1/2)x² + bx,得f(x) = a lnx + (1/2)x² - (a+1)x
当f(1) = 0时,f(1) = 1/2 - (a+1) =0 解得 a = -1/2
当f(a) = 0时,f(a) = a lna + (1/2)a² - (a+1)a = a lna - (1/2)a² - a = 0
由题意 a≠0,故 lna - (1/2)a - 1 = 0。
这是个在实域内无解的超越方程,要证明其无解,可用以下方法:
令g(a) = lna - (1/2)a - 1,则g'(a) = 1/a - 1/2。
要使g(a)有意义,则a>0。
当0<a<2时,g'(a) >0,g(a)为增函数;当a>2时,g'(a)<0,g(a)为减函数。
故g(a)在a=2处有最大值,其值为g(2) = ln2 -2 <0
故g(a)<0恒成立,方程g(a)=0无实数解。
综上,a的取值范围为{a|a = -1/2}。
(1)由题意,得 f'(x) = a/x + x + b,f''(x) = -a/x² + 1。
由于x = 1是极值点,所以f'(1) = a + 1 + b =0,b = -a-1。
由于x = 1是极大值点,所以f''(1) = -a + 1 <0,a > 1。
令 f'(x) = a/x + x + b = a/x + x - a - 1 = (x-1)(x-a)/x = 0,可求出f(x)的极值点为 x = 1 或 x = a。
要使函数f(x)有意义,则有 x >0。前面已推得a>1,故
0<x<1时, f'(x) = (x-1)(x-a)/x > 0,f(x)递增;
1<x<a时, f'(x) = (x-1)(x-a)/x < 0,f(x)递减;
x>a时, f'(x) = (x-1)(x-a)/x > 0,f(x)递增。
即f(x)的增区间为(0,1)和(a,+∞),f(x)的减区间为(1,a)。
(2)第1问已推得f(x)的极值点为 x = 1 或 x = a。
根据函数图像可知,要使f(x)=0恰有两根,则有f(1)=0或f(a)=0。
将b = -a-1代入f(x) = a lnx + (1/2)x² + bx,得f(x) = a lnx + (1/2)x² - (a+1)x
当f(1) = 0时,f(1) = 1/2 - (a+1) =0 解得 a = -1/2
当f(a) = 0时,f(a) = a lna + (1/2)a² - (a+1)a = a lna - (1/2)a² - a = 0
由题意 a≠0,故 lna - (1/2)a - 1 = 0。
这是个在实域内无解的超越方程,要证明其无解,可用以下方法:
令g(a) = lna - (1/2)a - 1,则g'(a) = 1/a - 1/2。
要使g(a)有意义,则a>0。
当0<a<2时,g'(a) >0,g(a)为增函数;当a>2时,g'(a)<0,g(a)为减函数。
故g(a)在a=2处有最大值,其值为g(2) = ln2 -2 <0
故g(a)<0恒成立,方程g(a)=0无实数解。
综上,a的取值范围为{a|a = -1/2}。
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