Question

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是 的中点，连接AE交BC于点F

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是 的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．





Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90 0 。 ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC。 ∴∠BAC=∠ADC=90°。∴BA⊥AC。 又∵AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线。 （2）∵△ADC∽△BAC（已证），∴ 。 ∵BD=5，CD=4，∴BC=9。∴ ，解得：AC=6。 ∴在Rt△ACD中， ， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6。∴DF=CA－CD=2。 ∴在Rt△AFD中， 。

（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90 0 ，从而可判断AC是⊙O的切线。 （2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长。