Question

设{ a n }是公比大于1的等比数列， S n 为数列{ a n }的前 n 项和．已知 S 3 ＝7，且 a 1 ＋3,3 a

设{ a n }是公比大于1的等比数列， S n 为数列{ a n }的前 n 项和．已知 S 3 ＝7，且 a 1 ＋3,3 a 2 ， a 3 ＋4构成等差数列．(1)求数列{ a n }的通项公式；(2)令 b n ＝ln a 3 n ＋1 ， n ＝1,2，…，求数列{ b n }的前 n 项和 T n .

Answer 1

（1） a n ＝2 n －1 （2） ln 2

(1)依题意，得   解得 a 2 ＝2. 设等比数列{ a n }的公比为 q ，由 a 2 ＝2，可得 a 1 ＝ ， a 3 ＝2 q . 又 S 3 ＝7，可知 ＋2＋2 q ＝7，即2 q 2 －5 q ＋2＝0， 解得 q ＝2或 . 由题意，得 q >1，∴ q ＝2，∴ a 1 ＝1. 故数列{ a n }的通项是 a n ＝2 n －1 . (2)由于 b n ＝ln a 3 n ＋1 ， n ＝1,2，…， 由(1)得 a 3 n ＋1 ＝2 3 n ， ∴ b n ＝ln 2 3 n ＝3 n ln 2， 又 b n ＋1 － b n ＝3ln 2， ∴数列{ b n }是等差数列． ∴ T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋…＋ b n ＝ ＝ ln 2. 故 T n ＝ ln 2.