Question

设f（x）在（-∞，+∞）内连续可导，且m≤f（x）≤M，a＞0．（1）求limt→a+14a2∫a?a[f(t+a)?f(t?a)]dt

设f（x）在（-∞，+∞）内连续可导，且m≤f（x）≤M，a＞0．（1）求limt→a+14a2∫a?a[f(t+a)?f(t?a)]dt；（2）求证：|12a∫a?af(t)dt-f（x）|≤M-m．

Answer 1

（1）
由于函数f（x）在（-∞，+∞）连续可导，
所以：

lim

t→a+

1

4a2

∫

a ?a

[f(t+a)?f(t?a)]dt=

∫

a ?a

lim

t→a+

1

4a2

[f(t+a)?f(t?a)]dt
=

∫

a ?a

lim

t→a+

[

1

2a

?

f(t+a)?f(t?a)

2a

]dt
=

∫

a ?a

1

2a

lim

t→a+

f(t+a)?f(t?a)

2a

dt
=

1 2a ∫

a ?a

f′(a)

2a

dt
=

f(a)

4a2

，

证明：
（2）
由于：

∫

a ?a

f(t)dt＝f(ξ)2a，ξ∈（-a，a），
∴|

1

2a

∫

a ?a

f(t)dt?f(x)|＝|f(ξ)?f(x)|，
又：m≤f（x）≤M，
∴f（ξ）≤M，-f（x）≤-m，
∴|

1

2a

∫

a ?a

f(t)dt?f(x)|≤M?m，证毕．