Question

高一数学不等式公式证明

求证（a+b+c）/3》（abc）开三次根号
a b c属于正有理数

Answer 1

解析：∵a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3-3ab（a+b)+c^3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]
=(a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=1/2*(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)
=1/2*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]
∵a＞0,b＞0,c＞0
∴a+b+c＞0
(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(a-c)^2≥0,
则1/2*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]≥0
即a^3+b^3+c^3-3abc≥0
∴(a^3+b^3+c^3)/3≥abc
那么(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
a,b,c是属于正实数成立，不是你说的正有理数。

Answer 2

设x^3=a,y^3=b,z^3=c
因为x^3+y^3+z^3+xyz>=2(x^3*y^3)^(1/2)+2(z^3*zyx)^(1/2)>=4xyz
所以x^3+y^3+z^3>=3xyz
即a+b+c>=3(abc)^(1/3)
两边除以三即可