Question

求证高数证明题，谢谢。

【此问题已终结（2021.7.20）】答案见第三张图，但不知道为什么app上显示不出来，只有我在手机浏览器上能看到，也点不了采纳。

第一张图是题目。f(x)在[0,1]上具有一阶连续导数，且 f(0) = f'(1) = 0。求证：至少存在一点ξ∈(0,1)，使得 f(ξ) = f'(ξ)。

第二张图是我的分析，主要是第3°种情况不严谨也可能是错误的。

第三张图是“安之若素晴好”的答案。





Answer 1

2^3^n+1能被3^(n+1)整除不成立

n=1 2^3^n+1=9 3^(n+1)=9 除1

n=2 2^3^n+1=65 3^(n+1) = 27 除2.407407

n=3 2^3^n+1=513 3^(n+1) = 81 除6.333333

形式：

把相等的式子（或字母表示的数）通过“=”连接起来。

等式分为含有未知数的等式和不含未知数的等式。

例如：

x+1=3——含有未知数的等式；

2+1=3——不含未知数的等式。

需要注意的是，个别含有未知数的等式无解，但仍是等式，例如：x+1=x——x无解。

Answer 2

你的证法中包含一个题目中没有的假定:在[0,1]上，f(x)与f'(x)单调。

追答

这个题目，最好仅仅考虑连续性。f'(x)在[0,1]上有连续的导数，f(x)必然处处连续且光滑。f(x)=f'(x)，有一个函数f(x)=ae＾x，满足这个关系，只要证得y=ae＾x与f(x)必有交点即可。交点处x=ξ满足题意。

如果f(1)≠0，设f(1)〉0,取a〉0,ae＾0=a〉0,f(0)=0，在ae＾x下方，选择合适的a，使得f(1)在ae＾x上方，ae〈f(1),a〈f(1)/e，即可满足要求，ae＾x与f(x)都连续，f(x)由ae＾x下方穿行到上方，两者必有交点。

f(1)〈0,取a〈0,同理可得合适的a，f(0)在ae＾x上侧，f(1)在ae＾x下侧，由连续性，f(x)与ae＾x有交点x=ξ满足题意。

如果f(1)=0,如果(0,1)内任意一点f(x)=0,f'(x)=0,f(x)=f'(x)恒成立。

如果(0,1)内有任意一点，x=b，f(b)≠0,根据上面类似的讨论，把1换成b，即得在(0,b)间必有一点x=ξ满足题意。

上面的做法有问题，f(x)还需要与y=ae＾x相切才行。下面给出一个比较严密的证明。

根据定积分，有:
∫(0,1)f'(x)dx=f(1)-f(0)=f(1)
∫(0,x)f'(t)dt=f(x)-f(0)=f(x)

如果f(1)〉0,则必有f'(x)〉0的点。否则，积分≤0;
同理，如果f(1)〈0,必有f'(x)〈0的点。

如果f(1)=0,有两种情况，一种是f'(x)=0,f(x)=0,这时对于整个区间[0,1]都有，f(x)=f'(x)=0，题目结论成立。

如果不是，则区间内，必同时存在f'(x)〉0，f'(x)〈0的区域，且两个区域的面积正负互相。抵消。

同时，由于连续性，区间内部必有f'(x)=0的点。

考虑存在f'(x)〉0的区间。

对于存在f(x)〉0的情形，我们从x=0，向右寻找f(x)最大的点x=b，0〈b≤1，f(b)〉0,必有f'(b)=0,对于连续光滑的函数，最大值处导数不为0,只出现在区间端点，现在f'(1)=0,即使在区间端点，出现最大值，该点导数也是0。由此得f(b)〉f'(b)。

看积分∫(0,b)f'(x)dx=f(b)，根据积分中值定理，存在0〈a〈b，∫(0,b)f'(x)dx=bf'(a)=f(b)
0〈b≤1，所以1/b≥1，f'(a)=f(b)/b〉f(b)，f(b)是最大值，所以f(a)≤f(b)，所以，f'(a)〉f(a)，f(a)〈f'(a)。

f(x)，f'(x)都是[0,1]上连续的函数，由a到b，f(x)由f'(x)的下方，走到f'(x)的上方，两个图像必然在(a，b)内相交，存在x=ξ∈(a，b)⊂(0,1)，f(ξ)=f'(ξ),得证。

对于存在f(x)〈0的情形，类似的，我们从x=0,向右寻找f(x)的最小值f(b)〈0,f'(b)=0，理由同上。

0〈b≤1，根据积分中值定理，存在0〈a〈b，∫(0,b)f'(x)dx=bf'(a)=f(b)
f'(a)=f(b)/b≤f(b)，f(b)最小，f(b)≤f(a)
所以f'(a)〈f(a)，f(a)〉f'(a)，

0〈b≤1，根据积分中值定理，存在0〈a〈b，∫(0,b)f'(x)dx=bf'(a)=f(b)
f'(a)=f(b)/b≤f(b)，f(b)最小，f(b)≤f(a)
所以f'(a)〈f(a)，f(a)〉f'(a)，

由a到b，f(x)从f'(x)的上方走到f'(x)的下方，两者比在中途相交。存在ξ∈(a，b)⊂(0,1),f(ξ)=f'(ξ)。得证。

综合以上三种情形:f(x)≡0;存在f(x)〉0;存在f(x)〈0。结论都正确。

Answer 3

题肯定是抄错了，不是f(1)的导数就是f(1)。本题是一个构造函数题，构造一个导数与问题相关的原函数，再利用定理证明

追问

但是如果题目没错的话，好像也是真命题？不知道能不能举出反例。（如果是f(1)=0的话我感觉当时考试时应该能做出来）

Answer 4

构造函数[f′（ε）e^ε-（e^ε）′f（ε）]/（e^ε）²=0
[f（ε）/e^ε]′=0
也就是函数g（x）=f（x）/e^x在[0,1]至少有一处导数为零。
g（0）=f（0）/e^0＝0
g′（1）=[f′（1）-f（1）]/e＝0
f′（1）=f（1）=0
f（1）-f（0）＝0＝f′（ε）×1
证明完毕

Answer 5

你思路没什么问题，第三步的讨论的时候可以利用单调性。主要是利用连续性(函数和导数的连续性)

可以参考图片