Question

四阶行列式计算例题 x -1 0 0 0. x. -1 0 0 0 x. -1 4 3 2 x+1

Answer 1

若x=0，
按第1列展开，得到行列式D=(-1)^3 *4 *(-1)^(1+4)=4
如果x不等于0
x -1 0 0
0 x -1 0
0 0 x -1
4 3 2 x+1 c2+c1*1/x ,c3+c2*1/x, c4+c3*1/x
=
x 0 0 0
0 x 0 0
0 0 x 0
4 (3+4/x) (2+3/x+4/x^2) (x+1+2/x+3/x^2+4/x^3)
于是得到上三角行列式，
D=x^3 *(x+1+2/x+3/x^2+4/x^3)
=x^4 +x^3+2x^2+3x+4

Answer 2

很简单，
x -1 0 0
0 x -1 0
0 0 x -1
4 3 2 x+1
按第1列展开，得到
x*
x -1 0
0 x -1
3 2 x+1

-4*(-1)^3

=x*
[x*(x(x+1)+2)+3(-1)^2]
+4
=x[x(x^2+x+2)+3]+4
=x^4+x^3+2x^2+3x+4