Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f'（2／3） 问： 设函数g（x）=（f（x）-x

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f'（2／3）
问：
设函数g（x）=（f（x）-x³）*ex，若函数g（x）在x∈【-3，2】上单调递增，求实数c的取值范围
求详细过程谢谢

Answer 1

解：
f(x)=x³+ax²-x+c
f'(x)=3x²+2ax-1
f'(2/3)=3*(4/9)+2a*(2/3)-1=a
4/3+4a/3-1=a
∴a=-1
g(x)
=[f(x)-x³]*e^x
=(-x²-x+c)*e^x
g'(x)
=(-2x-1)*e^x+(-x²-x+c)*e^x
=e^x(-x²-3x+c-1)
∵e^x>0
∴只需关注-x²-3x+c-1的正负性
令G(x)=-x²-3x+c-1
依题意，G(x)在[-3，2]上恒大于0
G(x)
=-x²-3x+c-1
=-(x-3/2)²+c-1+9/4
∴
G(-3)≥0⇒c+1≥0⇒c≥-1
G(2)≥0⇒-10+c-1≥0⇒c≥11
G(3/2)≥0⇒c-1+9/4≥0⇒c≥-5/4
∴c≥11
即，c的取值范围是[11，+∞)

追问

谢谢！