Question

几道高中数学题，可以只回答一两道您会的！

大括号为答案，请给出步骤。谢谢

1、我们规定：如果一个棱锥的地面是正三角形，顶点是在底面的投影是底面三角形中心，这样的棱锥叫正三棱锥。已知在正三棱锥A-BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，过B点做与侧棱AC、AD相交的截面BEF，在这个截面三角形中求：（1）周长的最小值【(11a)/4】（2）周长最小时的截面面积【（3（√55）（a的平方））/64】

2、一个圆锥底面半径为R，高为（根号3）R，求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值。【（6（（√6）+1）（R的平方））/5】

3、在三角形ABC中，已知A(2，0），B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上运动，求三角形ABC的重心G的轨迹方程。【6x+3y-7=0】

4、设M是圆x2+y2-6x-8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若｜OM｜｜ON｜=120，求N点的轨迹方程。

5、在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为（）【7/8】

6、函数f(x)=（√a）sin[（1-a）x]+cos[(1-a)x]的最大值为2.则f(x)的最小正周期为（）【∏】

7、已知0＜a＜b＜c＜2∏,且cosa+cosb+cosc=sina+sinb+sinc=0，则b-a的值是？【2∏/3或4∏/3】

Answer 1

打了这么多字，太辛苦了。
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1.
【图略，很简单的。】
把三棱锥沿侧棱AB剪开并把这三个侧面展平，
连结BB'（B'折回去就是B点），
则线段BB'的长就是截面三角形周长的最小值。
设∠BAC=α，则cosα=(4a^2+4a^2-a^2)/(2*2a*2a)=7/8
因为∠BAB'=3∠BAC=3α
所以cos3α=4(cosα)^3-3cosα=4(7/8)^3-3*(7/8)=7/128
所以BB'=√(4a^2+4a^2-2*2a*2a*(7/128))=(11/4)a
即截面三角形的最小周长为(11/4)a

由海伦公式计算△ABB'的面积：
x=2a,y=2a,z=(11/4)a
p=(x+y+z)/2
S(△ABB')=((p*(p-x)*(p-y)*(p-z)))^(1/2)
=[(33√15)/64]a^2
所以BB'边上的高h=2*[(33√15)/64]a^2 / [(11/4)a]
h=(1/11)*[(33√15)/8]a

△ACD底边CD上的高h'=(1/2)*(√15)a
又因为△AEF∽△ACD
所以EF/CD=h/h'
所以EF=CD*(h/h')=a*(3/4)
所以BE=FB'=[(11/4)a-(3/4)a]/2=a
△BEF(折回去后)根据三边BE=a、FB'=a、EF=(3/4)a
再根据海伦公式计算得出：
S(△BEF)=[(3/64)*√55]a^2

2.
【图略，下文中O是底面圆心，面A1B1C1D1位于圆锥顶点和底面之间，O1是A1B1C1D1所在平面的圆心】
设正四棱柱ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥SO
过该正四棱柱的对角面AA1C1C作圆锥的截面SEF
则△SEF为圆锥S的轴截面
四边形AA1C1C是△SEF的内接矩形
设圆锥的高SO交A1C1于O1。
因为OE=R,SO=√3R
所以∠ESO＝30°
所以SO1＝√3O1A1
设正四棱柱的底面边长为a，高为h。
则A1C1＝√2a，OO1＝h
因为O1A1＝1/2A1C1＝a√2/2
所以SO1＝a√6/2
所以h=√3R－a√6/2
所以正棱柱表面积S＝2a^2+4ah=2a^2+4a(√3R－a√6/2)=(2-2√6)a^2+4√3aR
因为2-2√6<0
所以S有最大值
当a=-4√3R/2(2-2√6)=(3√2+√3)/5R∈(0,√2R)时
S取得最大值=6(√6＋1)R^2/5

3.
设重心为：(x0,y0)
因为x0=(xA+xB+xC)/3，y0=(yA+yB+yC)/3
所以xC=3x0-2-(-1)=3x0-1，yC=3y0-0-2=3y0-2
因为(xC,yC)在2x+y-3=0上
所以2*(3x0-1)+(3y0-2)-3=0
6x0-2+3y0-2-3=0
即6x0+3y0-7=0
所以重心G的轨迹方程是：6x+3y-7=0

4.
设点N的坐标为(a,b)
点M的坐标为(c,d)
因为N是射线ON上的点
所以向量OM=k·向量ON（k>0）
向量OM=(c,d) 向量ON=(a,b)
(c,d)=k(a,b)
c=ka
d=kb
所以点M的坐标为(ka,kb)
|OM|=√[(ka)²+(kb)²]
=√[k²(a²+b²)]
=k√(a²+b²)
|ON|=√(a²+b²)
则|OM|·|ON|
=k(a²+b²)
=120
又因为点M在圆上
点M的坐标满足圆的方程：x²+y²-6x-8y=0
(ka)²+(kb)²-6ka-8kb=0
k(ka²+kb²-6a-8b)=0
120-6a-8b=0
3a+4b-60=0
所以点N的轨迹方程是：3x+4y-60=0

5.
你题目中的函数忘了写了。

6.
f(x)=(√a)sin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]
=√(a+1)sin{[(1-a)x]+φ}，其中tanφ=1/(√a)
≤√(a+1)
因为题设说f(x)最大值为2
即√(a+1)=2，即a=3
所以f(x)=2sin(-2x+φ)，其中tanφ=1/(√3)
所以其最小正周期是：2π/|-2|=π

7.
【该题引用楼上兄弟的答案。】
sina+sinb=-sinc
cosa+cosb=-cosc
两边同时平方
(sina+sinb)^2=(-sinc)^2
(cosa+cosb)^2=(-cosc)^2
全部展开得
(sina)^2+(sinb)^2+2sina*sinb=(sinc)^2
(cosa)^2+(cosb)^2+2cosa*cosb=(cosc)^2
全部相加得
2(cosa*cosb+sina*sinb)=-1
cos(a-b)=-1/2
因为是偶函数
cos(b-a)=-1/2
由0＜a＜b＜c＜2π,得0＜b-a＜2π,b-a为第二象限或第三象限
故得b-a=2π/3或4π/3

Answer 2

7、sina+sinb=-sinc
cosa+cosb=-cosc
二边平方
(sina+sinb)^2=(-sinc)^2
(cosa+cosb)^2=(-cosc)^2
全部展开得
(sina)^2+(sinb)^2+2sina*sinb=(sinc)^2
(cosa)^2+(cosb)^2+2cosa*cosb=(cosc)^2
全部相加得
2(cosa*cosb+sina*sinb)=-1
cos(a-b)=-1/2
因为是偶函数
cos(b-a)=-1/2
由0＜a＜b＜c＜2∏,得0＜b-a＜2∏,b-a为第二象限或第三象限
故得b-a=2∏/3或4∏/3