Question

求不定积分∫ 1/1+√（2x） dx

Answer 1

∫dx/(1+√2x)=1/√2*∫1/(1+√2x)d(1+√2x)，因为将d里面的配为与分母相同，多了√2，所以外面成一个1/√2，所以结果为1/√2*ln(1+√2x）＋c。

4x^2+2x = 4(x+ 1/4)^2 - 1/4

let

x+ 1/4 = (1/4)secu

dx = (1/4)secu.tanu du

∫√[ 1+1/(2x) ] dx

=∫√[(2x+1)/(2x) ] dx

=∫ [(2x+1)/√(4x^2+2x) ] dx

=∫ { [( 1/2)secu + 1/2 ]/[(1/2)tanu] } .[(1/4)secu.tanu du]

=(1/4)∫ [( secu)^2 + secu ] du

=(1/4)[ tanx +ln|secu+tanu| ] + C

=(1/4) [ 4x.√[1 + 1/(2x)] + ln|(4x+1) + 4x.√[1 + 1/(2x)]| ] + C

x+ 1/4 = (1/4)secu

4x +1 = secu

16x^2+8x = (tanu)^2

4x.√[1 + 1/(2x)] = tanu

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

Answer 2

如图所示

追问

第二步到第三步是怎么推算出来的？

追答

d√2x = (√2x)'dx = 1/2(√2x)(2x)'dx = 1/√2x dx

Answer 3

令√2x =t,则x=t²/2

Answer 4

最终答案应该要多乘个2