Question

设f(x)是[0，+无穷)上的连续可微函数，且当x趋向于+∞时，f(x)递减的趋于0，证明：若∫

设f(x)是[0，+无穷)上的连续可微函数，且当x趋向于+∞时，f(x)递减的趋于0，证明：若∫设f(x)是[0，+无穷)上的连续可微函数，且当x趋向于 +∞ 时，f(x)递减的趋于0，证明：若∫xf(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛。积分范围从0到+∞

Answer 1

分析：从结果看，f'(ξ)=2/(2ξ+1) - 1/√(1+ξ²)
显然：[ln(2ξ+1)]' =2/(2ξ+1)
而ln(2ξ+1)形式和0≤f(x)≤ln(2x+1)/[x+√(1+x²)]中的相近，再进一步：
ln[x+√(1+x²)]的导数为：1/√√(1+x²)，至此，可以利用构造法！

令：F(x)=f(x)-ln(2x+1)/[x+√(1+x²)]
显然，F(x)在[0,+∞)可微，
再令：t∈(0,+∞)，则：
F(x)在F(x)在(0,t)可微，即可导，在[0,t]连续
因此，根据拉格朗日中值定理，∃ξ∈(0,t)⊂(0,+∞)，则：
[F(t)-F(0)]/t = F'(ξ)
F(0)=f(0)-ln1=f(0)
又∵0≤f(x)≤ln(2x+1)/[x+√(1+x²)]
则：0≤f(0)≤ln1=0
即：f(0)=0
∴F(0)=0
F(t)=f(t)-ln(2t+1)/[t+√(1+t²)]
根据：0≤f(x)≤ln(2x+1)/[x+√(1+x²)]可得：
0≤f(t)-ln(2t+1)/[t+√(1+t²)]≤ln(2t+1)/[t+√(1+t²)] - ln(2t+1)/[t+√(1+t²)]=0
即：
F(t)=f(t)-ln(2t+1)/[t+√(1+t²)]=0
而：
F'(ξ) = {f(ξ)-ln(2ξ+1)/[ξ+√(1+ξ²)]}'
因此：
(0-0)/t ={f(ξ)-ln(2ξ+1)/[ξ+√(1+ξ²)]}'
∴
f'(ξ) = 2/(2ξ+1) - 1/√(1+ξ²)