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求微分方程 (x²+1)y'+2xy=4x² 的通解
解：先求齐次方程 (x²+1)y'+2xy=0的通解：
分离变量得：dy/y+[(2x)/(x²+1)]dx=0
积分之得：lny+∫d(x²+1)/(x²+1)=lny+ln(x²+1)=ln[y(x²+1)]=lnc;
故y(x²+1)=c，即y=c/(x²+1)； 将c换成x的函数u，得y=u/(x²+1).............①
将①两边对x取导数得：y'=[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)²=[u'/(x²+1)]-[2xu/(x²+1)²]...........②
将①②代入原式得：(x²+1){[u'/(x²+1)]-[2xu/(x²+1)²]}+2xu/(x²+1)=4x²
消去同类项得：u'=4x²；故u=4∫x²dx=(4/3)x³+c;
代入①式即得原方程的通解为：y=[(4/3)x³+c]/(x²+1);
解：先求齐次方程 (x²+1)y'+2xy=0的通解：
分离变量得：dy/y+[(2x)/(x²+1)]dx=0
积分之得：lny+∫d(x²+1)/(x²+1)=lny+ln(x²+1)=ln[y(x²+1)]=lnc;
故y(x²+1)=c，即y=c/(x²+1)； 将c换成x的函数u，得y=u/(x²+1).............①
将①两边对x取导数得：y'=[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)²=[u'/(x²+1)]-[2xu/(x²+1)²]...........②
将①②代入原式得：(x²+1){[u'/(x²+1)]-[2xu/(x²+1)²]}+2xu/(x²+1)=4x²
消去同类项得：u'=4x²；故u=4∫x²dx=(4/3)x³+c;
代入①式即得原方程的通解为：y=[(4/3)x³+c]/(x²+1);
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
正弦振动多用于找出产品设计或包装设计的脆弱点。看在哪一个具体频率点响应最大（共振点）；正弦振动在任一瞬间只包含一种频率的振动，而随机振动在任一瞬间包含频谱范围内的各种频率的振动。由于随机振动包含频谱内所有的频率，所以样品上的共振点会同时激发...
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显然这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以用常数变易法，也有特定的公式可用。先左右两边同除以(x²+1)，然后利用公式即可。
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(x²+1)y'+2xy=4x²
(x²+1)y'+(x²+1)'y=4x²
(x²+1)y=(4/3)x³+C/3
所以 y=(4x³+C)/(3x²+3)
(x²+1)y'+(x²+1)'y=4x²
(x²+1)y=(4/3)x³+C/3
所以 y=(4x³+C)/(3x²+3)
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对的可能性不大
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