Question

在三角形ABC中,角A=100°,角ACB=30°,延长AC至点D,使AB=CD,求角CDB

Answer 1

设△ABC的外接圆半径为0.5，则
CD=AB=sinC=0.5,CA=sinB=sin50°,[注]
在△ABD中由余弦定理，BD^2=0.25+(0.5+sin50°)^2-(0.5+sin50°)cos100°
≈2.072714842，
BD≈1.439692621，
所以cos∠D=(AD^2+BD^2-AB^2)/(2AD*BD)≈0.93969262，
所以∠D≈20°，为所求。
注：BC=sin100°=cos10°。作BC的垂直平分线交BC于E,交AC于F,连BF.
则∠CBF=∠ACB=30°，∠ABF=20°。
CF=CE/cos30°=cos10°/√3，
AD*AF=(sin50°+0.5)(sin50°-cos10°/√3)
=(sin50°)^2+0.5sin50°-(2sin50°cos10°+cos10°)/（2√3）
=(1-cos100°)/2+0.5sin50°-(sin60°+sin40°+cos10°)/(2√3)
=0.25+(√3sin10°-cos10°+√3sin50°-cos50°)/(2√3)
=0.25+(-sin20°+sin20°)/√3
=0.25=AB^2,
所以AD/AB=AB/AF,
所以△ABD∽△AFB,
所以∠D=∠ABF=20°。