求证：√a²+b²+√b²+c²+√c²+a²≥√2（a+b+c）（a，b，c，∈R）
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当a+b+c当a+b+c>0时，由于两边都为正数
要证√a²+b²+√b²+c²+√c²+a²≥√2（a+b+c）
即证（√a²+b²+√b²+c²+√c²+a²）^2≥2（a+b+c）^2
即2√a²+b²*√b²+c²+2√a²+b²*√c²+a²+2√c²+b²*√c²+a²≥2ab+2ac+2bc
明显√a²+b²>=a,√c²+b²>=b,√a²+c²>=c
所以2√a²+b²*√b²+c²+2√a²+b²*√c²+a²+2√c²+b²*√c²+a²≥2ab+2ac+2bc成立
原题得证。
要证√a²+b²+√b²+c²+√c²+a²≥√2（a+b+c）
即证（√a²+b²+√b²+c²+√c²+a²）^2≥2（a+b+c）^2
即2√a²+b²*√b²+c²+2√a²+b²*√c²+a²+2√c²+b²*√c²+a²≥2ab+2ac+2bc
明显√a²+b²>=a,√c²+b²>=b,√a²+c²>=c
所以2√a²+b²*√b²+c²+2√a²+b²*√c²+a²+2√c²+b²*√c²+a²≥2ab+2ac+2bc成立
原题得证。
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