Question

分段函数f(x)=x^2+x, x<=1; f(x)=3x-2,x>1 问x=1时f’(1)？

Answer 1

f(1)=2/3

lim(Δx-->0-)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2/3(1+Δx)³-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δ²x+2Δx+Δ³x]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δx+2+Δx]
=2
左导数存在

lim(Δx-->0+)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(1+Δx)²-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[2Δx+Δ²x+1/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(2+Δx)+1/(3Δx)]
=不存在
右导数不存在

∴f(x)在x=1处不可导

Answer 2

x<=1时，f(x)=x^2+x, f'(1-) = (2x+1)|x=1 = 3
x>1时，f(x)=3x-2, f'(1+) = 3
lim [f(1+h) - f(1-h)]/2h = lim[(1+h)^2 + 1+h -3(1-h) +2]/2h
= lim (h^2 + 6h -1)/2h极限不存在
所以用三种方法导数不等，说明导数不存在