Question

定积分问题？

问题一：从画圈一到画圈二是怎么变换过去的，辛苦您，要一个具体一点的整个题目公式变换过程！
问题二：变换过程中是不是用了分部积分法？

Answer 1

第一个圈到第二个圈是很简单的，仅仅用了洛必达法则，
分母x∫f（u）du求导就是
∫f（u）du＋xf（x）
分子x∫f（u）du-∫tf（t）dt求导就是
∫f（u）du＋xf（x）-xf（t）
所以得到第二个圈

追问

哥你好这个求导的过程可以写一下吗

如果是用洛必达法则求导，那么积分的求导要怎么算，这个概念有点忘记了

Answer 2

第一步是换元，u=x-t,du=-dt,积分的上下限变为0，x;交换上下限，要变号。
第二步是用洛必达法则，d[x∫<0,x>f(t)dt]/dx=∫<0,x>f(t)dt+xf(x),
d[∫<0,x>tf(t)dt]/dx=xf(x),
可以吗？

Answer 3

没有楼上各位答主说的那么复杂！
圈一的分子分母都趋近于0，即是0/0型不定式。应用洛必达法则，直接就从圈一得到圈二。

Answer 4

let
u=x-t
du = -dt
t=0, u-x
t=x, u=0
∫(0->x) f(x-t) dt
=∫(x->0) f(u) (-du)
=∫(0->x) f(u) du
=∫(0->x) f(t) dt
lim(x->0) [x.∫(0->x) f(t) dt - ∫(0->x) tf(t) dt ]/ [x.∫(0->x) f(x-t) dt ]
=lim(x->0) [x.∫(0->x) f(t) dt - ∫(0->x) tf(t) dt ]/ [x.∫(0->x) f(t) dt ]
洛必达
=lim(x->0) [xf(x) + ∫(0->x) f(t) dt - xf(x) ]/ [xf(x) + ∫(0->x) f(t) dt ]
=lim(x->0) ∫(0->x) f(t) dt / [xf(x) + ∫(0->x) f(t) dt ]