Question

定积分的应用，这道题c错在哪里了呢，虽然现在知道d是对的？

Answer 1

绕y轴旋转后得到的是“圆环”，求其体积则是圆环的面积×高（dy）

而圆环的面积=πR²-πr²

而不可能是π(R-r)²！！！

Answer 2

圆的方程

(x-1)^2 +y^2 = 1

(x-1)^2 = 1-y^2

x=1+√(1-y^2) or x=1-√(1-y^2) 

x1:前面的1/4 圆 : x=1-√(1-y^2)

x2: 后面的1/4 圆 : x=1+√(1-y^2)

见附图

所以

Vy

=π∫(0->1) [ (x2)^2 -(x1)^2] dy

=π∫(0->1) { [(1+√(1-y^2)]^2 -[1-√(1-y^2)]^2 } dy

追问

我明白要用一块减去另一块体积这种做法，但是不理解，c的派R方，将（x2-x1）整体当作R错在哪里呢？

追答

视为很多小的圆柱体的相加

圆柱体的体积 =πr^2 h

r=x2 , h=dy

所以

第1个体积 ： =π∫(0->1)  (x2)^2  dy   

图红色部分绕y轴转，得出的体积

//

r=x1, h=dy

是2个体积的相差

第2个体积 ： =π∫(0->1)  (x1)^2  dy

图斜线部分绕y轴转，得出的体积

//

所以2个体积的相差

=π∫(0->1) [ (x2)^2 -(x1)^2] dy

不是

π∫(0->1)  (x2 -x1)^2 dy