Question

一道高中三角函数题。应该不难。谁帮帮忙？？急

三角形ABC中，a+b=(a/tanA)+(b/tanB)
求角C
帮帮忙，详细过程。谢谢

Answer 1

解：三角形ABC，根据正弦定理有：
a/sinA=b/sinB
并设上述比值为k，
所以有a=ksinA,
b=ksinB,
故将其代入已知式a+b=(a/tanA)+(b/tanB)中可得：
k（sinA+sinB）=(ksinA.cosA/sinA)+(ksinB.cosB/sinA)
化简得：sinA+sinB=cosA+cosB
利用和差化积公式将上式化简得：2sin((A+B)/2).cos((A-B)/2)=2cos((A+B)/2).cos((A-B)/2)
化简即：sin((A+B)/2)=cos((A+B)/2) .......(1)
又在三角形中有∠A+∠B+∠C=π
所以(A+B)/2=π/2-C/2，代入（1）得:
sin(C/2)=cos(C/2)
又因为在三角形中显然有C/2<π/2，
故可得C/2=π/4，即
C=π/2

Answer 2

用正弦定理，替换a,b,后，如a=2RsinA,
原式等价于 sinA+sinB=cosA+cosB，即
sinA-cosA=cosB-sinB
sin(A-45)=cos(B+45)=sin(90-(45+B))=sin(45-B)
所以A-45=45-B A+B=90,
C=90
另一种情况A-45=180-(45-B) （舍去）