Question

求下列微分方程的特解:9y"+6y'+y=(6x+2)e-1/3x,ylx=o=0,y'lx=0=2.

Answer 1

问：求下列微分方程的特解:9y"+6y'+y=(6x+2)e-1/3x,ylx=o=0,y'lx=0= 2.

答：首先，根据题目给定的初始条件，解出通解形式:y = c1y1 + c2y2其中y1和y2是方程的两个解，c1和c2是常数。现在，我们要求的是特解，因此需要找到一组解使得方程的右侧有形如(6x+2)e-1/3x的项。将方程化为标准形式:9y" + 6y' + y = 0

答：然后，我们可以使用欧拉方法来求解这个方程。设解为y=vx，则有:9v"x + 6v'x + vx = 0将vx代入得:9v" + 6v' + v = 0因此，v满足下列方程:v" + (2/3)v' + (1/3)v = 0这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以使用常规方法求解。解出v的通解形式:v = c1e^(-x/3) + c2xe^(-x/3)将v代回原方程，得到y的通解形式:y = c1xe^(-x/3) + c2x^2e^(-x/3)现在，我们要求的是特解，因此需要找到一组解使得方程的右侧有形如(6x+2)e-1/3x的项。因此，我们可以设:y = (ax^2 + bx + c)e^(-x/3)代入原方程得:9a'x^2 + 6(2ax + b)'x + (3a + 2b + c)' = (6x+2)e^(-x/3)左式中的各项系数均为0，得到:a' = 2/9b' = -1/

答：这是一个二阶常系数线性微分方程，其一般形式为：ay'' + by' + cy = g(x)我们可以使用牛顿迭代法来求解特解。首先，我们将方程化为标准形式：y'' + (b/a)y' + (c/a)y = g(x)然后我们可以假设特解的形式为：y = x^r代入原方程，得到：r(r-1) + (b/a)r + (c/a) = 0解得：r1 = (b/a + sqrt(b^2 - 4ac))/2r2 = (b/a - sqrt(b^2 - 4ac))/2因此，特解的一般形式为：y = c1x^r1 + c2x^r2对于给定的方程，有：a = 9, b = 6, c = 1, g(x) = (6x+2)e-1/3x带入上述公式，得到：r1 = (-6 + sqrt(36 - 491))/2 = (-6 + sqrt(4))/2 = -2r2 = (-6 - sqrt(36 - 491))/2 = (-6 - sqrt(4))/2 = -3因此，特解的一般形式为：y = c1x^(-2) + c2x^(-3)我们可以使用初始条件 y(0) = 0, y'(0) = 2 来确定 c1 和 c2 的值。当 x = 0 时，有：y = c10^(-2) + c20^(-3) = 0当 x = 0 时，有：y' = -2c10^(-1) + -3c20^(-2) = 0解得：c1 = 0, c2 = 2/3因此，特解为：y = (2/3)x^(-3)带入原方程验证，得到：9

答：用第二种吧